算理精微

算经阁的门没有锁，只有一道刻痕——上面写着「算」字，笔画被人用指甲刮出了一道额外的裂痕。

诺依曼老祖站在门前，手边悬着一枚算珠，珠面上刻满了 0 和 1。

诺依曼老祖

「你学过加法器。半加器、全加器、行波进位——ch02 的东西。但你可知，三十二位的进位要传多久？0.1+0.2 又等于几？」

精度之蚀

「你以为0.1+0.2=0.3。记下了。」

石径尽头是一面墙——墙上刻着三十二个格子，每个格子里坐着一个全加器，首尾相连。墙的底部有一只钟，钟面上没有数字，只有一圈刻度。

诺依曼老祖

「ch02 的行波进位加法器。三十二位，进位从最低位传到最高位，要穿过三十一级门。你猜，要多久？」

精度之蚀

「你以为加法是瞬时的。等你看见钟面，就知道你等的不是加法，是进位。」

殿中央悬着一台加法器。老祖在加法器旁边放了一面镜子。镜子里是同样的加法器，但输入端的 B 被取了反。

诺依曼老祖

「减法 A−B。你打算怎么算？提醒你——计算机里只有加法器。没有减法器。」

乘除塔是一座七层石塔。每一层都刻着一种算法。你抬头看塔顶——那里有一扇门，门上刻着一个问题：「1 ÷ 3 = ？」

诺依曼老祖

「七层你全爬完，算术的整数侧就通了。」

精度之蚀

「你走完了整数的全部七层。加法、减法、乘法、除法——全通了。但你连 0.1 都输不进去。」

裂缝的另一侧是一面巨大的镜台。镜面上刻着三十二个格子——1 个符号位、8 个指数位、23 个尾数位。

诺依曼老祖

「IEEE 754 单精度。你在 S0 猜错过 0.1+0.2 的地方——答案就刻在这面镜子上。先学怎么把一个实数装进这 32 个格子。」

殿中央悬着两根光柱——一根刻着 1.0×2⁰，一根刻着 1.0×2⁻²³。你想：1.0 + 0.000000119... ≈ 1.0。很合理。

诺依曼老祖

「不是『大约等于』。是『在 23 位尾数里，1.0×2⁻²³ 加上去之后，尾数最低位翻了吗？』把它们加起来。」

舍入狱是一座环形石牢。牢中央悬着一只算盘——上面跑着一段循环：sum = 0; for (i = 0; i < 10000; i++) sum += 0.1;

精度之蚀

「理论上 sum 应该等于 1000。你猜，实际上等于几？误差不会累积的——对吧？」

诺依曼老祖

「你学的实数代数——结合律、分配律——在它的世界里全是废纸。」

融乘阁里只有一台法器——三个输入端口 A、B、C，一个输出端口。

诺依曼老祖

「浮点乘法你已经会了，浮点加法你也会了。那 A×B+C 呢？两次运算——两次舍入。如果我只舍入一次呢？」

权衡殿中央悬着一架三角天平——三个顶点标着「面积」「速度」「精度」。天平下面散落着你这一路见过的所有模块。

诺依曼老祖

「一颗芯片的面积是有限的。你要在有限面积里装下你的 ALU。每一个模块都要付面积的税。选吧。」

精度之蚀

「你想要精度？付面积。你想要速度？付面积。你以为精度可以无代价提升？」

权衡殿的灯火齐灭。裂缝从四面八方压过来，凝成一个由无数个 0 和 1 溶解又重组的身影——没有面孔，只有一道不断侵蚀的裂痕。它手中悬着一本账簿，封面刻着四个字：精度账本。

精度之蚀

「你在算经阁里走了十层。每一层，你都在低估我。现在，回答我三个问题。答错，从 S3 重走。但你的刻痕不会消失——它们是你的弹药。」

精度之蚀消散时，算经阁的灯一盏盏亮回来。诺依曼老祖走过来，手里多了一枚铜钥匙——钥匙上刻着十个凹槽，每个凹槽里是一个 0 到 9 的数字。

诺依曼老祖

「银行算利息，0.1 元 + 0.2 元必须等于 0.3 元——不是 0.30000000000000004。一次都不行。怎么办？」

诺依曼老祖

「你这一章设计的加法器、乘法器、FMA 单元——它们每一个都需要好几个周期才能算完。但现代处理器每个时钟周期都在执行指令。怎么做到的？那叫流水线。下一章的题。」