算理精微
你以为算术就是1+1=2。但0.1+0.2在计算机里不等于0.3。这不是bug——这是有限位表示无限的代价。
算经阁
算经阁的门没有锁，只有一道刻痕——上面写着「算」字，笔画被人用指甲刮出了一道额外的裂痕。
诺依曼老祖站在门前，手边悬着一枚算珠，珠面上刻满了 0 和 1。
诺依曼老祖
「你学过加法器。半加器、全加器、行波进位——ch02 的东西。但你可知，三十二位的进位要传多久？0.1+0.2 又等于几？」
精度之蚀
「你以为0.1+0.2=0.3。记下了。」
0.1 + 0.2 浮点精度预测挑战器
先下注，再探索 ALU 全貌。算珠在你手里微微发烫。
ALU 全貌 · 五模块热区
详解 · K11-07 浮点表示：为什么 0.1 永远装不进二进制
0.1 在二进制里是无限循环小数 0.0001100110011…——就像 1/3 在十进制里是 0.333…。单精度只有 23 位尾数，存到第 23 位必须斩断，斩断处就是误差之源。所以 0.1+0.2≠0.3 不是 bug，而是「用有限位表示无限」的先天代价：0.1 实际存成约 0.100000001490116，0.2 存成约 0.200000002980232，相加的舍入结果与 0.3 的存储值差了一个尾数最低位。
进位阵 · 延迟之墙
石径尽头是一面墙——墙上刻着三十二个格子，每个格子里坐着一个全加器，首尾相连。墙的底部有一只钟，钟面上没有数字，只有一圈刻度。
诺依曼老祖
「ch02 的行波进位加法器。三十二位，进位从最低位传到最高位，要穿过三十一级门。你猜，要多久？」
精度之蚀
「你以为加法是瞬时的。等你看见钟面，就知道你等的不是加法，是进位。」
进位链延迟曲线追踪器
切换加法器模式 → 测量门延迟 → 对比硬件代价
三种加法器延迟-面积对比
详解 · K11-01 快速进位：行波、旁路与选择的代价账
行波进位（RCA）的进位要一级级穿过全部全加器，32 位约 62 级门延迟。进位旁路（CBA）发现：若一组内所有位都「传播」进位（a⊕b=1），整组可一键跳过——延迟降到约 18 级。进位选择（CSA）更激进：高组同时按 Cin=0 和 Cin=1 各算一份，低组进位一到，用 MUX 二选一——约 12 级。代价是硬件：旁路加一组判跳逻辑，选择直接翻倍加法器。面积换速度，从这里开始。
补码殿 · 加减归一
殿中央悬着一台加法器。老祖在加法器旁边放了一面镜子。镜子里是同样的加法器，但输入端的 B 被取了反。
诺依曼老祖
「减法 A−B。你打算怎么算？提醒你——计算机里只有加法器。没有减法器。」
补码加减统一电路 · Sub 信号 + XOR 门 + C₀
切换 Sub 信号 → 观察 XOR 取反与 C₀ 进位 → 验证加减归一
详解 · K11-02 补码：减法如何被「翻译」成加法
模 2ⁿ 世界里，−B ≡ ~B+1（取反加一）。于是 A−B = A+(~B+1)：一个 Sub 信号分两路——控制 B 的每一位过 XOR（Sub=1 时取反），同时接进位输入 C₀（Sub=1 时 +1）。加法器原封不动，减法和负数以零额外硬件入伙。溢出判定也随之统一：V = C₃₁⊕C₃₂（最高两位进位异或），正正得负、负负得正即溢出。
乘除塔 · 整数之限
乘除塔是一座七层石塔。每一层都刻着一种算法。你抬头看塔顶——那里有一扇门，门上刻着一个问题：「1 ÷ 3 = ？」
诺依曼老祖
「七层你全爬完，算术的整数侧就通了。」
精度之蚀
「你走完了整数的全部七层。加法、减法、乘法、除法——全通了。但你连 0.1 都输不进去。」
整数乘除算法四选一推演器
依次点亮七层算法 → 推开门 → 撞上整数之限
详解 · K11-03/04 乘法：从阵列到 Booth 到树形压缩
阵列乘法器把 32×32 个部分积一次铺开，直观但进位链冗长。Booth 编码一次看两位（Radix-4 看三位），把连续 1 串压缩成一次加减，部分积减半。Wallace/Dadda 树再用保留进位加法器（CSA）把每层 3:2 压缩，延迟从 O(n) 降到 O(log n)。Dadda 与 Wallace 的差别只在「每层压到多少」的节俭策略——Dadda 用的加法器最少。
详解 · K11-05/06 除法：恢复、不恢复与 SRT 的 4.75 亿美元教训
恢复余数除法每步试减，减出负值就加回来（恢复）再移位；不恢复除法把「加回」合并进下一步，省一拍。SRT 除法用商数字集 {−1,0,1} 和一张查表，每步可得多位商——1994 年 Pentium 的 FDIV bug 正是这张表有 5 个条目载入错误，罕见但真实地算错除法，Intel 最终花 4.75 亿美元召回。形式化验证从此成为浮点硬件的标配。
浮点台 · IEEE 之镜
裂缝的另一侧是一面巨大的镜台。镜面上刻着三十二个格子——1 个符号位、8 个指数位、23 个尾数位。
诺依曼老祖
「IEEE 754 单精度。你在 S0 猜错过 0.1+0.2 的地方——答案就刻在这面镜子上。先学怎么把一个实数装进这 32 个格子。」
IEEE 754 编码拆解 · 三区间探索
选择实数 → 逐位编码 → 探索三个区间 → 单双精度对比
详解 · K11-07/08 IEEE 754：一套自洽的有限数系
单精度 32 位 = 1 符号 + 8 指数（偏移 127）+ 23 尾数；双精度 = 1+11+52（偏移 1023）。规格化数暗藏前导 1，白赚一位精度。指数全 0 留给非规格化数与零——非规格化让 0 附近的值密度渐变（渐进下溢），而不是突然断崖。指数全 1 是 ∞（尾数 0）与 NaN（尾数非 0），让 1/0、0/0 有定义、可传播。这套设计 1985 年定型，至今统治所有通用计算。
对阶殿 · 消失的尾数
殿中央悬着两根光柱——一根刻着 1.0×2⁰，一根刻着 1.0×2⁻²⁴。你想：1.0 + 0.0000000596... ≈ 1.0。很合理。
诺依曼老祖
「不是『大约等于』。是『在 23 位尾数里，1.0×2⁻²⁴ 加上去之后，尾数最低位翻了吗？』把它们加起来。」
浮点加法四步 · 对阶 → 相加 → 规格化 → 舍入
拖动 B 尾数右移对阶 → 相加 → 选择舍入模式 → 观察 B 是否存活
详解 · K11-09 浮点加法四步：对阶、相加、规格化、舍入
① 对阶：小阶尾数右移，与大阶对齐——移出的位只能进保护位/舍入位/粘滞位（GRS）暂存。② 相加：尾数加减。③ 规格化：把结果调回 1.xxx 形态。④ 舍入：按舍入模式裁回 23 位。粘滞位记录「移出去的位里是否有过 1」，是正确舍入的关键。对阶右移是精度丢失第一现场——大数吃小数，就发生在这一步。
舍入狱 · 误差雪崩
舍入狱是一座环形石牢。牢中央悬着一只算盘——上面跑着一段循环：sum = 0; for (i = 0; i < 10000; i++) sum += 0.1;
精度之蚀
「理论上 sum 应该等于 1000。你猜，实际上等于几？误差不会累积的——对吧？」
诺依曼老祖
「你学的实数代数——结合律、分配律——在它的世界里全是废纸。」
浮点误差雪崩曲线追踪器
运行 10000 次累加 → 切换舍入模式 → 灾难性抵消 → 结合律违反
详解 · K11-11/12 舍入模式与数值稳定性
IEEE 754 规定四种舍入：最近偶数（默认，平局归偶，统计无偏）、向零、向 +∞、向 −∞。最近偶数让长序列累加的期望误差最小——这就是 10000 次 0.1 累加里四种模式分出高下曲线的由来。更深一层是数值稳定性：灾难性抵消（相近数相减，有效位瞬间清空）、结合律失效（(a+b)+c ≠ a+(b+c)）、误差放大。Kahan 求和用补偿变量追回每步丢掉的低位，是同精度下最经典的自救方案。
融乘阁 · FMA 之光
融乘阁里只有一台法器——三个输入端口 A、B、C，一个输出端口。
诺依曼老祖
「浮点乘法你已经会了，浮点加法你也会了。那 A×B+C 呢？两次运算——两次舍入。如果我只舍入一次呢？」
FMA 对比 · 先乘后加（两次舍入） vs FMA（一次舍入）
切换模式 → 观察 48 位乘积是否截断 → 对比灾难性抵消案例
详解 · K11-13 FMA：一次舍入的乘加
普通乘加 A×B+C 有两次舍入：乘积先截回 24 位有效，再加 C 再舍入一次。FMA 把 48 位全精度乘积直接送进宽加法器与 C 相加，全程只舍入一次——最坏误差从 1 ULP 降到 0.5 ULP。在 A=1.0、B=1+2⁻²⁴、C=−1.0 的灾难性抵消里，两次舍入给出 0，FMA 给出真值 2⁻²⁴。现代 GPU/TPU 的矩阵乘单元本质就是海量 FMA 阵列。
权衡殿 · 三角之秤
权衡殿中央悬着一架三角天平——三个顶点标着「面积」「速度」「精度」。天平下面散落着你这一路见过的所有模块。
诺依曼老祖
「一颗芯片的面积是有限的。你要在有限面积里装下你的 ALU。每一个模块都要付面积的税。选吧。」
精度之蚀
「你想要精度？付面积。你想要速度？付面积。你以为精度可以无代价提升？」
三角天平 · 三场景 ALU 配置器
为嵌入式 / 桌面 CPU / AI 加速器各配置 ALU → 观察三角权衡
详解 · K11-14 面积·速度·功耗：不可能三角
每一条加速技巧都在同一张账单上签字：进位选择=加法器翻倍，Wallace 树=布线拥塞，FMA=更宽的加法器与寄存器。嵌入式场景（如 Cortex-M）宁要行波进位换微瓦级功耗；桌面 CPU 用树形乘法器+FMA 换纳秒级延迟；AI 加速器干脆铺满低精度 FMA 阵列换吞吐。架构师的核心手艺不是堆料，而是在给定面积与功耗预算内，把每一平方毫米花在最关键的运算上。
Boss 战 · 精度之蚀
权衡殿的灯火齐灭。裂缝从四面八方压过来，凝成一个由无数个 0 和 1 溶解又重组的身影——没有面孔，只有一道不断侵蚀的裂痕。它手中悬着一本账簿，封面刻着四个字：精度账本。
精度之蚀
「你在算经阁里走了十层。每一层，你都在低估我。现在，回答我三个问题。答错，从 S3 重走。但你的刻痕不会消失——它们是你的弹药。」
渊账累计 0 笔 · 三问全对后清零
尾声 · 十进制之钥
精度之蚀消散时，算经阁的灯一盏盏亮回来。诺依曼老祖走过来，手里多了一枚铜钥匙——钥匙上刻着十个凹槽，每个凹槽里是一个 0 到 9 的数字。
诺依曼老祖
「银行算利息，0.1 元 + 0.2 元必须等于 0.3 元——不是 0.30000000000000004。一次都不行。怎么办？」
诺依曼老祖
「你这一章设计的加法器、乘法器、FMA 单元——它们每一个都需要好几个周期才能算完。但现代处理器每个时钟周期都在执行指令。怎么做到的？那叫流水线。下一章的题。」
BCD 编码 · 加法修正 · 全章知识图谱
编码 0.1 → BCD → 0.1+0.2=0.3 精确 → 5+8 修正 → 图谱点亮
详解 · K11-15 BCD：十进制的最后堡垒
BCD 用 4 位二进制存一个十进制位（8421 码），0.1 可以精确表示——银行账务、COBOL 系统、计算器至今靠它规避二进制浮点误差。代价：4 位只用 10/16 的编码空间，存储浪费约 20%；加法结果落到 1010–1111 要 +0110 修正（如 5+8=1101→+0110=1 0011，即 13）。IBM z 系列至今保留十进制浮点硬件（IEEE 754-2008 decimal64/128），x86 也有 AAA/DAA 遗留指令。
详解 · K11-10 浮点乘除与全章复盘：指数加、尾数乘
浮点乘法比加法简单：指数相加、尾数相乘（1.xxx×1.yyy 落回 [1,4)，至多右规一位）、再舍入；除法则指数相减、尾数相除。乘除没有对阶灾难，但仍要规格化与舍入——以及 SRT 查表那样的实现陷阱。至此本章闭环：整数加减乘除（S1–S3）、浮点表示（S4）、浮点加法（S5）、误差（S6）、FMA（S7）、权衡（S8）、十进制（S10）——一台 ALU 的全部算理精微。